1. Các kiến thức cần nhớ
Phân thức đại số
Định nghĩa:
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\dfrac{A}{B}\) , trong đó $A,B$ là những đa thức và \(B\) khác 0.
$A$ được gọi là tử thức (hay tử); $B$ được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý:
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .
Ví dụ:
\(\dfrac{x}{{x + 1}}\) là một phân thức đại số. Số \(2\) cũng là một phân thức đại số dưới dạng \(\dfrac{2}{1}.\)
Hai phân thức bằng nhau
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) \(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$
Tính chất cơ bản của phân thức đại số
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
Qui tắc đổi dấu
+ Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ – A}}{{ – B}}$
Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau :
+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} = – \dfrac{{ – A}}{B}$
+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} = – \dfrac{A}{{ – B}}$
+ Đổi dấu mẫu : \(\dfrac{A}{{ – B}} = – \dfrac{A}{B}\)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định.
Phương pháp:
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0.\)
Dạng 2: Tìm giá trị của biến số \(x\) để phân thức\(\dfrac{A}{B}\) nhận giá trị \(m\) cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x.\)
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của \(x\) để hai phân thức bằng nhau.
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức sau:
+ Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$)
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ – A}}{{ – B}}.$