1. Phân thức đại số
Định nghĩa
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\dfrac{A}{B}\) , trong đó $A,B$ là những đa thức và \(B\) khác 0.
Hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) \(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .
2. Tính chất cơ bản của phân thức đại số
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
Qui tắc đổi dấu:
+ Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho:
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ – A}}{{ – B}}$
Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau :
+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} = – \dfrac{{ – A}}{B}$
+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} = – \dfrac{A}{{ – B}}$
+ Đổi dấu mẫu : \(\dfrac{A}{{ – B}} = – \dfrac{A}{B}\) .
3. Rút gọn phân thức đại số
– Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức.
– Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
4. Quy đồng mẫu thức
Phương pháp quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
* Tìm mẫu chung
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).
* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
5. Cộng trừ hai phân thức
a. Cộng (trừ) hai phân thức cùng mẫu thức
Quy tắc: Muốn cộng (trừ) hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng (trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\) ; \(\dfrac{A}{B} – \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A – C}}{B};\,\left( {B \ne 0} \right)\) .
b. Cộng (trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau
Quy tắc: Muốn cộng (trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức các phân thức rồi cộng (trừ) các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.
c. Các tính chất của phép cộng và phép trừ các phân thức
+ Giao hoán: \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}\)
+ Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}} \right) + \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} + \left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right)\)
+ Đổi dấu: \( – \dfrac{A}{B} = \dfrac{{ – A}}{B} = \dfrac{A}{{ – B}}\) ; \( – \dfrac{{ – A}}{B} = \dfrac{A}{B}\)
6. Nhân chia hai phân thức
a) Nhân hai phân thức
Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}\) .
Tính chất phép nhân hai phân thức
+ Giao hoán: \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\)
+ Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)\)
+ Phân phối đối với phép cộng: \(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}\)
b) Chia hai phân thức
* Phân thức nghịch đảo
Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng \(1\) .
Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) là \(\dfrac{B}{A}\) với $A,\,B \ne 0$.
* Phép chia hai phân thức
Quy tắc: Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) \(\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\) , ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\dfrac{C}{D}\) .
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\)
7. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Để tính giá trị của phân thức , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức
Bước 2: Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức rồi tính.