1. Kiến thức cần nhớ
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
– Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|\)
– Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3\ln 6$
B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)
C. \(3\ln \dfrac{3}{2} – 2\)
D.\(3\ln \dfrac{3}{2} – 1\)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; – \dfrac{1}{2}} \right)$.
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ có \(y’ = \dfrac{{ – 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}
Do đó \(y
Do đó $S = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( { – \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} \right)} dx = – \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x – 2}}} \right)} dx $
$= – \left( {x + 3\ln \left| {x – 2} \right|\mathop |\nolimits_{ – 1}^0 } \right) = – 3\ln 2 – 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} – 1$
Chọn D.