• Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar

Học Tập Việt Nam

Trang về học tập tổng hợp các vấn đề liên quan đến việc cho học sinh phổ thông.

Phương trình mặt phẳng

04/01/2022 by adminhoctap

1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

+) Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).

+) Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

+) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

2. Phương trình mặt phẳng

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) + c\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)

+) Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0\) có các VTPT lần lượt là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n’}  = \left( {a’;b’;c’} \right)\). Khi đó hai mặt phẳng:

– cắt nhau nếu \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n’} \)

– song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n’} \) và \(d \ne k.d’\)

– trùng nhau nếu  \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n’} \) và \(d = k.d’\)

– vuông góc nếu $\overrightarrow n .\overrightarrow {n’}  = 0$.

Nếu \(a’b’c’d’ \ne 0\) thì:

+) \(\dfrac{a}{{a’}} \ne \dfrac{b}{{b’}}\) hoặc \(\dfrac{b}{{b’}} \ne \dfrac{c}{{c’}}\) hoặc \(\dfrac{a}{{a’}} \ne \dfrac{c}{{c’}}\) thì \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau.

+) \(\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} = \dfrac{c}{{c’}} \ne \dfrac{d}{{d’}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)

+) \(\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} = \dfrac{c}{{c’}} = \dfrac{d}{{d’}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\)

+) \(a.a’ + b.b’ + c.c’ = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

– Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

– Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc có:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a’ + b.b’ + c.c’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$

Góc giữa hai mặt phẳng là \(\alpha \) thì \(0 \le \alpha  \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha  \le 1\).

Thuộc chủ đề:Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 12

Sidebar chính

Bài viết mới

  • Ôn tập chương 7 – Phương pháp tọa độ trong không gian
  • Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng
  • Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
  • Phương trình mặt cầu
  • Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Chuyên mục

  • Công thức Lý lớp 6 (19)
  • Công thức Lý lớp 7 (25)
  • Công thức Sinh lớp 6 (50)
  • Công thức Toán lớp 6 (69)
  • Công thức Toán lớp 7 (55)
  • Học Tiếng Anh 12 (14)
  • Lý thuyết Anh lớp 7 (60)
  • Lý thuyết Địa lớp 7 (49)
  • Lý thuyết Sinh lớp 7 (47)
  • Lý thuyết Sử lớp 7 (38)
  • Lý thuyết Văn lớp 6 (272)
  • Lý thuyết Văn lớp 7 (271)
  • Tổng ôn tập MÔN ĐỊA Lớp 10 (21)
  • Tổng ôn tập MÔN ĐỊA Lớp 11 (20)
  • Tổng ôn tập MÔN ĐỊA Lớp 12 (65)
  • Tổng ôn tập MÔN ĐỊA Lớp 8 (36)
  • Tổng ôn tập MÔN ĐỊA Lớp 9 (33)
  • Tổng ôn tập MÔN GDCD Lớp 10 (14)
  • Tổng ôn tập MÔN GDCD Lớp 11 (10)
  • Tổng ôn tập MÔN GDCD Lớp 12 (9)
  • Tổng ôn tập MÔN HÓA Lớp 10 (36)
  • Tổng ôn tập MÔN HÓA Lớp 11 (58)
  • Tổng ôn tập MÔN HÓA Lớp 12 (77)
  • Tổng ôn tập MÔN HÓA Lớp 8 (39)
  • Tổng ôn tập MÔN HÓA Lớp 9 (45)
  • Tổng ôn tập MÔN LÝ Lớp 10 (49)
  • Tổng ôn tập MÔN LÝ Lớp 11 (52)
  • Tổng ôn tập MÔN LÝ Lớp 12 (78)
  • Tổng ôn tập MÔN LÝ Lớp 8 (24)
  • Tổng ôn tập MÔN LÝ Lớp 9 (42)
  • Tổng ôn tập MÔN SINH Lớp 10 (30)
  • Tổng ôn tập MÔN SINH Lớp 11 (46)
  • Tổng ôn tập MÔN SINH Lớp 12 (64)
  • Tổng ôn tập MÔN SINH Lớp 8 (57)
  • Tổng ôn tập MÔN SINH Lớp 9 (47)
  • Tổng ôn tập MÔN SỬ Lớp 10 (46)
  • Tổng ôn tập MÔN SỬ Lớp 11 (37)
  • Tổng ôn tập MÔN SỬ Lớp 12 (47)
  • Tổng ôn tập MÔN SỬ Lớp 8 (32)
  • Tổng ôn tập MÔN SỬ Lớp 9 (37)
  • Tổng ôn tập MÔN TIẾNG ANH Lớp 10 (54)
  • Tổng ôn tập MÔN TIẾNG ANH Lớp 11 (46)
  • Tổng ôn tập MÔN TIẾNG ANH Lớp 12 (65)
  • Tổng ôn tập MÔN TIẾNG ANH Lớp 8 (51)
  • Tổng ôn tập MÔN TIẾNG ANH Lớp 9 (55)
  • Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 10 (46)
  • Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 11 (58)
  • Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 12 (71)
  • Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 8 (55)
  • Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 9 (53)
  • Tổng ôn tập MÔN VĂN Lớp 10 (247)
  • Tổng ôn tập MÔN VĂN Lớp 11 (248)
  • Tổng ôn tập MÔN VĂN Lớp 12 (92)
  • Tổng ôn tập MÔN VĂN Lớp 8 (273)
  • Tổng ôn tập MÔN VĂN Lớp 9 (294)

Học Tập VN (c) 2021 - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap - Bảo mật.
Môn Toán - Học Z - Sách toán - Lop 12 - Hoc VN - Hoc Trắc nghiệm