1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho \(d,d’\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,M \in d,M’ \in d’\) . Ta có:
+) \(d \equiv d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \) đôi một cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} } \right] = \overrightarrow 0 \)
+) \(d//d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
+) \(d\) cắt \(d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) không cùng phương và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]\overrightarrow {MM’} = 0\end{array} \right.\)
+) \(d\) chéo \(d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \) không đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]\overrightarrow {MM’} \ne 0\)
Ngoài ra, ta có thể giải hệ phương trình của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
+) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì \(d\) cắt \(d’\).
+) Nếu hệ vô số nghiệm thì \(d \equiv d’\).
+) Nếu hệ vô nghiệm thì:
\(d//d’\) nếu \(\overrightarrow u = k\overrightarrow {u’} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) cùng phương.
\(d\) chéo \(d’\) nếu \(\overrightarrow u \ne k\overrightarrow {u’} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) không cùng phương.
2. Khoảng cách và góc
a) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d’\)
\(d\left( {A,d’} \right) = \dfrac{{{S_{ANN’M’}}}}{{AN}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM’} ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u’} } \right|}}\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng:
\(d\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {MM’} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}\)
c) Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là: \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \):
$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u’} } \right|}}$