Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp

1. Thiết diện của một hình

Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình $H$ khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là phần chung của $mp\left( P \right)$ và hình $H$.

Ví dụ:

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right),\left( {SDA} \right)$ lần lượt theo các giao tuyến $FG,GH,HE,EF$.

Khi đó, thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi $\left( \alpha \right)$ chính là tứ giác $FGHE$.

2. Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp

Cho hình chóp $S.{A_1}{A_2}…{A_n}$, cắt hình chóp bởi một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bở mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.

– Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên thành đa giác.

– Bước 3: Kết luận: Đa giác tìm được ở trên chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

– Giao điểm ở bước 1 thường được tìm bằng cách:

+) Tìm hai đường thẳng $a,b$ lần lượt thuộc các mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$, đồng thời chúng nằm trong mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ nào đó.

+) Giao điểm $M = a \cap b$ chính là điểm chung của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$.

– Đường thẳng chứa cạnh của thiết diện chính là giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mỗi mặt của hình chóp.

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là tứ giác lồi và một điểm $M$ nằm trên cạnh $SB$. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ với hình chóp.

Giải:

Trước hết ta sẽ tìm điểm $N$ là giao điểm của $(ADM)$ với $SC$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \subset \left( {SBD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $G = SO \cap DM \Rightarrow G \in SO \subset \left( {SAC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $N = AG \cap SC$.

Ta có:

+ $(ADM)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến $AM$.

+ $(ADM)$ cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $AD$.

+ $(ADM)$ cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $DN$.

+ $(ADM)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$.

Thiết diện cần tìm là tứ giác $ADNM$.