Tóm tắt lý thuyết
a) Trong hai phân số cùng mấu số:
- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ: \(\frac{2}{7} \frac{2}{7}\).
b) Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của chúng.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{7}\).
Quy đồng mẫu số hai phân số: \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{7}\).
\(\frac{3}{4}= \frac{3\times 7}{4\times 7}=\frac{21}{28}\);
\(\frac{5}{7}= \frac{5\times 4}{7\times 4}=\frac{20}{28}\).
Vì 21 > 20 nên \(\frac{21}{28}> \frac{20}{28}\).
Vậy: \(\frac{3}{4}> \frac{5}{7}\).
Bài tập minh họa
Bài 1: So sánh các cặp phân số sau:
a. \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\) b. \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{5}{8}\) c. \(\frac{{13}}{2}\) và \(\frac{{13}}{3}\) d. \(\frac{{17}}{5}\) và \(\frac{{17}}{3}\)
Hãy nêu nhận xét về cách so sánh hai phân số có tử số bằng nhau.
Giải
Ta vẫn phải quy đồng mẫu số hai phân số đã cho rồi so sánh hai tử số.
a. \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\) hay \(\frac{{10}}{{15}}\) và \(\frac{6}{{15}}\). Ta thấy \(\frac{{10}}{{15}}\) > \(\frac{6}{{15}}\) do đó \(\frac{2}{3} > \frac{2}{5}\)
b. \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{5}{8}\) hay \(\frac{{40}}{{56}}\) và \(\frac{{35}}{{56}}\). Ta thấy \(\frac{{40}}{{56}}\, > \,\frac{{35}}{{56}}\) do đó \(\frac{5}{7}\,\, > \,\frac{5}{8}\)
c. \(\frac{{13}}{2}\) và \(\frac{{13}}{3}\) hay \(\frac{{39}}{6} > \frac{{26}}{6}\). Ta thấy \(\frac{{39}}{6} > \frac{{26}}{6}\) do đó \(\frac{{13}}{2} > \frac{{13}}{3}\)
d. \(\frac{{17}}{5}\) và \(\frac{{17}}{3}\) hay \(\frac{{51}}{{15}}\) và \(\frac{{85}}{{15}}\). Ta thấy \(\frac{{85}}{{15}} > \frac{{51}}{{15}}\) do đó \(\frac{{17}}{3} > \frac{{17}}{5}.\)
Bài 2:
a. Chứng minh rằng các phân số sau bằng nhau: \(\frac{{27}}{{31}};\frac{{2727}}{{3131}};\frac{{272727}}{{313131}}\)
b. So sánh hai phân số: \(\frac{{11}}{{31}}\) và \(\frac{{111}}{{311}}\).
c. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: \(\frac{{214}}{{321}};\frac{{205}}{{321}};\frac{{214}}{{315}}\)
Giải
a. \(\frac{{2727}}{{3131}} = \frac{{27\,\,x\,\,101}}{{31\,\,x\,\,101}} = \frac{{27}}{{31}}\)
\(\frac{{272727}}{{313131}} = \frac{{27\,\,\,x\,\,\,10101}}{{31\,\,\,x\,\,\,10101}} = \frac{{27}}{{31}}\)
Vậy \(\frac{{27}}{{31}} = \frac{{2727}}{{3131}} = \frac{{272727}}{{313131}}\)
b. Ta có:
\(1 – \frac{{11}}{{31}} = \frac{{20}}{{31}}\); \(1 – \frac{{111}}{{311}} = \frac{{200}}{{311}}\)
Do \(\frac{{20}}{{31}} = \frac{{200}}{{310}} > \frac{{200}}{{311}}\) suy ra \(\frac{{111}}{{311}} > \frac{{11}}{{31}}\)
c. \(\frac{{214}}{{321}} > \frac{{205}}{{321}};\,\,\frac{{214}}{{315}} > \frac{{214}}{{321}}\) vậy \(\frac{{214}}{{315}} > \frac{{214}}{{321}} > \frac{{205}}{{321}}\)
nên được sắp xếp như sau: \(\frac{{214}}{{315}},\frac{{214}}{{321}},\frac{{205}}{{321}}\)
Bài 3: So sánh các phân số
\(\frac{8}{5},\frac{3}{4}\) và \(\frac{{19}}{{20}}\); \(\frac{2}{3},\frac{7}{{10}}\) và \(\frac{2}{5}\);
Giải
\(\frac{8}{5},\frac{3}{4}\) và \(\frac{{19}}{{20}}\) hay \(\frac{{32}}{{20}},\,\frac{{15}}{{20}}\) và \(\frac{{19}}{{20}}\)
Do đó: \(\frac{{15}}{{20}}
\(\frac{2}{3},\frac{7}{{10}}\) và \(\frac{2}{5}\) hay \(\frac{{20}}{{30}},\frac{{21}}{{30}}\) và \(\frac{{12}}{{30}}\)
Do đó: \(\frac{{12}}{{30}}
Bài 4:
a. Viết tất cả các phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số là 212 và tử số lớn hơn 204.
b. Viết tất cả các phân số lớn hơn 1 có mẫu số là 315 và tử số lớn hơn 317 nhưng nhỏ hơn 320.
Giải
a. Các phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số là 212 và tử số lớn hơn 204:
\(\frac{{205}}{{212}};\frac{{206}}{{212}};\frac{{207}}{{212}};\frac{{208}}{{212}};\frac{{209}}{{212}};\frac{{210}}{{210}}\) và \(\frac{{211}}{{212}}\)
b. Các phân số lớn hơn 1 có mẫu số là 315 và tử số lớn hơn 317 nhưng nhỏ hơn 320 là:
\(\frac{{318}}{{315}}\) và \(\frac{{319}}{{315}}\)
Bài 5: So sánh các phân số:
a. \(\frac{{a + 1}}{a}\) và \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}}\) với \(a \in N,a \ne 0\)
b. \(\frac{a}{{a + 6}}\) và \(\frac{{a + 1}}{{a + 7}}\) với \(a \in N\).
Giải
a. Do tử số lớn hơn mẫu số nên các phân số \(\frac{{a + 1}}{a} > 1\) và \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} > 1\)
Do đó: \(\frac{{a + 1}}{a} – 1 = \frac{{a + 1 – a}}{a} = \frac{1}{a}\)
\(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} – 1 = \frac{{a + 3 – a – 2}}{{a + 2}} = \frac{1}{{a + 2}}\)
Vì \(a \in N\) và \(a \ne 0\) nên hai phân số \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{{a + 2}}\) là hai phân số cùng tử số mà a \frac{1}{{a + 2}}\), do đó \(\frac{{a + 1}}{a} > \frac{{a + 3}}{{a + 2}}.\)
b. Do tử số nhỏ hơn mẫu số nên các phân số \(\frac{a}{{a + 6}}
Do đó:
\(1 – \frac{a}{{a + 6}} = \frac{{a + 6 – a}}{{a + 6}} = \frac{6}{{a + 6}}\)
\(1 – \frac{{a + 1}}{{a + 7}} = \frac{{a + 7 – a – 1}}{{a + 7}} = \frac{6}{{a + 7}}\)
Vì \(a \in N\) nên \(\frac{6}{{a + 6}}\) và \(\frac{6}{{a + 7}}\) là hai phân số cùng tử số mà a + 6 \(\frac{6}{{a + 7}}\), do đó \(\frac{a}{{a + 6}}\)
Bài 6: So sánh các phân số
\(\frac{7}{8},\frac{4}{5}\) và \(\frac{9}{{10}}\) \(\frac{6}{7},\,\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{11}}{{41}}\)
Giải
\(\frac{7}{8},\frac{4}{5}\) và \(\frac{9}{{10}}\) hay \(\frac{{35}}{{40}},\frac{{32}}{{40}}\) và \(\frac{{36}}{{40}}\)
Do đó: \(\frac{{32}}{{40}}
\(\frac{6}{7},\,\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{11}}{{41}}\) hay \(\frac{{24}}{{28}},\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{22}}{{28}}\)
Do đó: \(\frac{{22}}{{28}}
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1 SGK trang 7: Điền các dấu >,
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{4}{{11}}…\frac{6}{{11}}{\mkern 1mu} \\
{\mkern 1mu} \frac{6}{7}…\frac{{12}}{{14}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\frac{{15}}{{17}}…\frac{{10}}{{17}}{\mkern 1mu} \\
\frac{2}{3}…\frac{3}{4}
\end{array}
\end{array}\)
Giải
\(\frac{4}{{11}} \frac{{10}}{{17}}\,;\frac{6}{7} = \frac{{12}}{{14}}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{2}{3} = \frac{8}{{12}}\;\,\left( 1 \right)\\
\frac{3}{4} = \frac{9}{{12}}\left( 2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{2}{3}
Bài 2 SGK trang 7: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:
a) \(\frac{8}{9};\frac{5}{6};\frac{{17}}{{18}}\)
b) \(\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{5}{8}\)
Giải
a) Quy đồng mẫu số
MSC=18
\(\frac{8}{9} = \frac{{16}}{{18}};\frac{5}{6} = \frac{{15}}{{18}};\frac{{17}}{{18}}\)
Ta có: \(\frac{{15}}{{18}}
b) Quy đồng mẫu số:
MSC = 8
\(\frac{1}{2} = \frac{4}{8};\frac{3}{4} = \frac{6}{8};\frac{5}{8}\)
Ta có: \(\frac{4}{8}
Bài 1 SGK trang 7 (So sánh phân số tiếp theo):
a) Điền các dấu >,
\(\frac{3}{5}…1\) \(\frac{2}{2}…1\) \(\frac{9}{4}…1\) \(1…\frac{7}{8}\)
b) Nêu đặc điểm của phân số lớn hơn 1, bé hơn 1, bằng 1.
Giải
a) \(\frac{3}{5} 1;1
b)
- Nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1
- Nếu tử số bé hơn mẫu số thì phân số đó bé hơn 1
- Nếu tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1
Bài 2 SGK trang 7 (So sánh phân số tiếp theo):
a) So sánh các phân số
\(\frac{2}{5}\) và \(\frac{2}{7}\) \(\frac{5}{9}\) và \(\frac{5}{6}\) \(\frac{11}{2}\) và \(\frac{11}{3}\)
b) Nêu cách so sánh hai phân số có cùng tử số
Giải
a) \(\frac{2}{5} > \frac{2}{7};\,\frac{5}{9} \frac{{11}}{3}\)
b) Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn phân số kia
Bài 3 SGK trang 7 (So sánh phân số tiếp theo): Phân số nào lớn hơn?
a) \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{7}\)
b) \(\frac{2}{7}\) và \(\frac{4}{9}\)
c) \(\frac{5}{8}\) và \(\frac{8}{5}\)
Giải
a) \(\frac{3}{4} = \frac{{21}}{{28}};\,\,\frac{5}{7} = \frac{{20}}{{28}}\)
Ta có \(\frac{{20}}{{28}} \frac{5}{7}\)
b) \(\frac{2}{7} = \frac{4}{{14}}
c) Ta có: \(\frac{5}{8} 1\)
Do đó: \(\frac{5}{8}
Bài 4 SGK trang 7 (So sánh phân số tiếp theo): Mẹ có một số quả quýt. Mẹ cho chị \(\frac{1}{3}\) số quả quýt đó, cho em \(\frac{2}{5}\) số quả quýt đó. Hỏi ai được mẹ cho nhiều quýt hơn?
Giải
Quy đồng mẫu số:
\(\frac{1}{3} = \frac{5}{{15}};\frac{2}{5} = \frac{6}{{15}}\)
Vì \(\frac{6}{{15}} > \frac{5}{{15}}\) nên \(\frac{3}{5} > \frac{1}{3}\)
Vậy em được mẹ cho nhiều quýt hơn.