Ở mép một mặt nón đặt một vất nhỏ khối lượng $m$. Góc nghiêng của nón là $\alpha$ ( hình bên). Mặt nón quay xung quanh trục đối xứng $\Delta$ với vận tốc góc là $\omega$ không đổi. Khoảng cách từ trục quay đến trục là $R$. Tìm hệ số ma sát nhỏ nhất giữa  vật và mặt nón để vật đứng yên trên mặt nón và biện luận kết quả.

 Khi mặt nón đứng yên vật $m$ chịu tác dụng $3$ lực: trọng lực $ \overrightarrow {P}$ hướng thẳng xuống dưới; phản lực $\overrightarrow {N}$ của mặt nón hướng vuông góc với mặt nón ( vì $m$ không rời mặt nón nên $\overrightarrow {N}$ cân bằng với thành phần pháp tuyến $P_2=mg\cos \alpha$ của trọng lực); lực ma sát nghỉ $F_{msn}$ ( có giá trị cực đại bằng $kN=kmg\cos \alpha$); hướng lên song song với mặt nón ( hình bên). Khi cho mặt nón quay quanh trục thẳng đứng $\Delta$ thì vật $m$ chiuh thêm tác dụng của lực quán tính li tâm $F_{lt}$, hướng ngang ra xa trục, có độ lớn $F_{lt}=mR\omega^2$ ( vì vật nằm trong hệ quy chiếu quay). Để vật $m$ đứng yên khi mặt nón quay thì hợp lực của cả $4$ lực trên ($\overrightarrow {P}, \overrightarrow {N}, \overrightarrow {F_{msn}}, \overrightarrow {F_{lt}}$) phải bằng $0$, nghĩa là:
                   $\overrightarrow {P}+\overrightarrow {N}+\overrightarrow {F_{msn}}+\overrightarrow {F_{lt}}=0        (1)$
Chiếu phương trình $(1)$ lên trục vuông góc với mặt nón và trục hướng theo đường dốc của mặt nón ta được hai phương trình:
                   $N+mR\omega^2 \sin \alpha=mg \cos \alpha                   (2)$
                   $F_{msn}=mg\sin \alpha+mR\omega^2 \cos \alpha         (3)$
Vì $F_{msn} \leq kmg \cos \alpha$, nên từ $(3)$ ta có:
            $kmg\cos \alpha \geq mg \sin \alpha+mR\omega^2 \cos \alpha           (4)$
Từ phương trình $(2)$ suy ra:
        $mR\omega^2 \sin \alpha=mg\cos \alpha-N$
        $\omega^2=\frac{mg \cos \alpha-N}{mR \sin \alpha}           (5)$
Ta phải có $N>0$, nếu không vật $m$ sẽ rời khỏi mặt nón, do đó vận tốc góc $\omega$ phải nhỏ hơn giá trị $\omega_0$ ( ứng với $N=0$), tưc là phải có điều kiện thứ nhất là: $\omega=\sqrt{\frac{g}{R\tan \alpha} }    (a)$
Từ bất phương trình $(4)$ ta lại suy ra:
        $k \geq \tan \alpha +\frac{R \omega^2}{g}                  (6)$
Vậy giá trị nhỏ nhất $k_{\min}$ của hệ số ma sát để vật đứng yên  khi quay mặt nón là: $k_{\min}=\tan \alpha+\frac{R \omega^2}{g}    (b)$
      Biện luận
1. Nếu $k2. Nếu $k=\tan \alpha$ thì mặt nón đứng yên vật đã đến giới hạn cân bằng ( thành phần $P_1=mg\sin \alpha$ của trọng lực cân bằng với giá trị cực đại $kmg \cos \alpha$ của lực ma sát nghỉ). Do đó mặt nón chỉ mới bắt đầu quay ($ \omega$ rất nhỏ) vật đã trượt xuống và rơi ra ngoài ( do  chịu tác dụng của thành phần song song với mặt nón $mR\omega^2 \cos \alpha$ của lực li tâm).
3. Nếu $k> \tan \alpha +\frac{R \omega^2}{g}$ thì với $\omega$ thỏa mãn điều kiện $(a)$ thì vật đứng yên.
4. Khi $\omega> \omega_0$ thì – nếu $k>\tan \alpha +\frac{R \omega^2}{g}$, vật tuy không trượt nhưng lại bị nâng theo phương $Q$ ( do chịu tác dụng của thành phần theo phương vuông góc với mặt nón $mR \omega^2 \sin \alpha$ của lực li tâm), tức là vật rời mặt nón, lực $F_{ms}$ triệt tiêu, và vật văng ra ngoài, rốt cục là vật vẫn là không đứng yên.
    Tóm lại để vật đứng yên thì $\omega$ phải thỏa mãn điều kiện $(a)$, đồng thời $k$ phải thỏa mãn điều kiện $(b)$