Xét hệ tọa độ như hình vẽ
Vật $1: y_1=v_0t-\frac{gt^2}{2}; x_1=0; t\leq \frac{2v_0}{g}$
Vật $2: y_2=v_0\sin \alpha t-\frac{gt^2}{2};$
$x_2=v_0 \cos \alpha t; t\leq \frac{2v_0\sin \alpha }{g}$
Khoảng cách giữa hai vật ở thời điểm $t$ là:
$d=\sqrt{(y_1-y_2)^2+x_2^2} ; (t\leq \frac{2v_0 \sin \alpha }{g})$
$\Rightarrow d^2=2v_0^2t^2(1-\sin \alpha )\leq \frac{8v_0^2}{g^2}\sin^2 \alpha (1-\sin \alpha )$
$=\frac{32v_0^4}{g^2}.\frac{\sin \alpha }{2}.\frac{\sin \alpha }{2}(1-\sin \alpha )$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$d^2\leq \frac{32v_0^4}{g^2}. \frac{(\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}+1-\sin \alpha )^3 }{27}=\frac{32v_0^4}{27g}$
Vậy $d_{max}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3} }\frac{v_0^2}{g}$, đạt được khi $\sin \alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow a \approx 42^0$.
Bài viết liên quan:
- Sao Kim có khối lượng riêng trung bình $\rho = 5200 kg/m^3$ và bán kính $R = 6100 km$. Tính gia tốc rơi tự do $g_k$ trên bề mặt sao Kim. Tìm trọng lượng của một vật có khối lượng $m = 100 kg$ trên sao Kim.
- Một người đứng ở độ cao $50 m$ cách mặt đất ném một viên đá theo phương ngang với vận tốc $v_0 = 18 m/s$. Lấy $g = 10 m/s^2$.a) Sau bao lâu thì viên đá chạm đất.b) Tính tầm xa của viên đá (theo phương ngang).c) Xác định vector vận tốc của viên đá khi chạm đất.
- Người ta thả một hòn đá từ một cửa sổ ở độ cao $8m$ so với mặt đất (vận tốc ban đầu bằng không) vào đúng lúc một hòn bi thép rơi từ trên mái nhà xuống đi ngang qua với vận tốc $15 m/s$.Hỏi hai vật chạm đất cách nhau một khoảng thời gian bằng bao nhiêu ? Bỏ qua sức cản của không khí.