Hai vật ném đồng thời từ một điểm với vận tốc như nhau, cùng bằng $v_0$. một vật được ném lên theo phương thẳng đứng, còn vật kia được ném lên dưới một góc nào đó so với phương ngang. Hỏi góc đó phải bằng bao nhiêu để khoảng cách giữa hai vật là cực đại? Khoảng cách cực đại đó bằng bao nhiêu ? Xem rằng khi rơi xuống vận tốc của vật bằng $0$.

Xét hệ tọa độ như hình vẽ
Vật $1: y_1=v_0t-\frac{gt^2}{2}; x_1=0; t\leq \frac{2v_0}{g}$
Vật $2: y_2=v_0\sin \alpha t-\frac{gt^2}{2};$
             $x_2=v_0 \cos \alpha t; t\leq \frac{2v_0\sin \alpha }{g}$
Khoảng cách giữa hai vật ở thời điểm $t$ là:
         $d=\sqrt{(y_1-y_2)^2+x_2^2} ; (t\leq \frac{2v_0 \sin \alpha }{g})$
 $\Rightarrow  d^2=2v_0^2t^2(1-\sin \alpha )\leq \frac{8v_0^2}{g^2}\sin^2 \alpha (1-\sin \alpha )$
              $=\frac{32v_0^4}{g^2}.\frac{\sin \alpha }{2}.\frac{\sin \alpha }{2}(1-\sin \alpha )$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
          $d^2\leq \frac{32v_0^4}{g^2}. \frac{(\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}+1-\sin \alpha )^3  }{27}=\frac{32v_0^4}{27g}$
Vậy $d_{max}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3} }\frac{v_0^2}{g}$, đạt được khi $\sin \alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow  a \approx  42^0$.