1. Giải bài 1 trang 140 SGK Giải tích 12
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
Phương pháp giải
Các căn bậc hai của số thực \(a
Hướng dẫn giải
Căn bậc hai phức của -7 là \(\small \pm i\sqrt{7}\)
Căn bậc hai phức của -8 là \(\small \pm i2\sqrt{2}\)
Căn bậc hai phức của -12 là \(\small \pm i2\sqrt{3}\)
Căn bậc hai phức của -20 là \(\small \pm i2\sqrt{5}\)
Căn bậc hai phức của -11 là \(\small \pm 11i\)
2. Giải bài 2 trang 140 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a) \( – 3{z^2} +2z – 1 = 0\)
b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\)
c) \(5{z^2} -7z+ 11= 0\)
Phương pháp giải
Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)
Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)
- Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta
Hướng dẫn giải
Câu a
Xét phương trình -3z2 + 2z – 1 = 0.
\(\Delta ‘ = {(1)^2} – ( – 3)( – 1) = – 2
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}= \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}.\)
Câu b
Xét phương trình 7z2 + 3z +2 = 0.
\(\Delta = 9 – 4.7.2 = – 47
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}=\frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\).
Câu c
Xét phương trình 5z2 – 7z + 11 = 0
\(\Delta = 49 – 4.5.11 = – 171
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}=\frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\).
3. Giải bài 3 trang 140 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a) \(\small z^4 + z^2 – 6 = 0\)
b) \(\small z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)
Phương pháp giải
Phương pháp giải phương trình \(a{z^4} + b{z^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Bước 1: Đặt \({z^2} = t\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t: \(a{t^2} + bt + c = 0\).
Bước 3: Từ nghiệm t, ta giải tìm nghiệm x bằng cách tìm căn bậc hai của t.
Hướng dẫn giải
Câu a
Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – 3\end{array} \right.\)
Khi \(t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z _{1,2}= \pm \sqrt 2 \)
Khi \(t = – 3 \Rightarrow {z^2} = – 3 \Rightarrow z _{3,4}= \pm i\sqrt 3 \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).
Câu b
Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 2\\t = – 5\end{array} \right.\)
Khi \(t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z_{1,2} = \pm i\sqrt 2 \)
Khi \(t = – 5 \Rightarrow {z^2} = – 5 \Rightarrow z_{3,4} = \pm i\sqrt 5 \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).
4. Giải bài 4 trang 140 SGK Giải tích 12
Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
Phương pháp giải
– Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} – 4ac\).
– Chia các trường hợp của \(\Delta\):
TH1: \(\Delta \ge 0\), sử dụng kết quả của định lí Vi-et đã biết.
TH2: \(\Delta
Hướng dẫn giải
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = – \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Trường hợp \(∆
\(\begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ – b + \delta }}{{2a}};\,\,{z_2} = \dfrac{{ – b – \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{ – b + \delta – b – \delta }}{{2a}} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{{\left( { – b + \delta } \right)\left( { – b – \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} – {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}\\= \dfrac{{{b^2} – \left( {{b^2} – 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a}\end{array}\)
Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆
5. Giải bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12
Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm
Phương pháp giải
\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x – z} \right)\left( {x – \overline z } \right) = 0\).
Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x – z} \right)\left( {x – \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – x.\overline z – x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {a + bi + a – bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)