1. Giải bài 1 trang 135 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau
a) (3 – 5i) + (2 + 4i)
b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i)
c) (4 + 3i) – (5 – 7i)
d) (2 – 3i) – ( 5 – 41)
Phương pháp giải
Công thức cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
(3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5i + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i.
Câu b
(-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3i – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i.
Câu c
(4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3i + 7i) = (4 – 5) + (3 + 7)i =-1 + 10i.
Câu d
(2 – 3i) – ( 5 – 4i) = (2 – 5) + (-3i + 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i =-3 + i.
2. Giải bài 2 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính \(\small \alpha + \beta, \alpha – \beta\), biết
a) \(\small \alpha = 3, \beta = 2 i\)
b) \(\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i\)
c) \(\small \alpha = 5i, \beta = -7i\)
d) \(\small \alpha = 15, \beta = 4 – 2i\)
Phương pháp giải
Công thức cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
α + β = 3 + 2i; α – β = 3 – 2i.
Câu b
α + β = 1 + 4i; α – β = 1 – 8i.
Câu c
α + β = -2i; α – β = 12i.
Câu d
α + β = 19 – 2i; α – β = 11 + 2i.
3. Giải bài 3 trang 136 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau
a) (3 – 2i)(2 – 3i)
b) (-1 + i)(3 + 7i)
c) 5(4 + 3i)
d) (-2 – 5i).4i
Phương pháp giải
Công thức nhân hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
(3 – 2i)(2 – 3i) = 6 + 6i2 -9i – 4i = (6 – 6) + (-9 -4)i = -13i.
Câu b
(-1 + i)(3 + 7i) = -3 + 7i2 -7i + 3i =(-3 – 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i.
Câu c
5(4 + 3i) = 20 + 15i.
Câu d
(-2 – 5i).4i = -8i – 20i2 = -8i -20(-1) = 20 – 8i.
4. Giải bài 4 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)
Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý
Phương pháp giải
Phân tích \({i^3} = {i^2}.i;\,\,\,{i^4} = {i^3}.i;\,\,{i^5} = {i^4}.i\), sử dụng quy ước \({i^2} = – 1\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i\\{i^4} = {i^3}.i = – i.i = – {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}\).
Ta có
Với \(n = 4k\) thì \({i^n} = {i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = {1^k} = 1\)
Với \(n = 4k + 1\) thì \({i^n} = {i^{4k + 1}} = {i^{4k}}.i = 1.i = i\)
Với \(n = 4k + 2\) thì \({i^{4k + 2}} = {i^{4k}}.{i^2} = 1.\left( { – 1} \right) = – 1\)
Với \(n = 4k + 3\) thì \({i^{4k + 3}} = {i^{4k}}.{i^3} = 1.\left( { – i} \right) = – i\)
Vậy \({i^{4k}} = 1,\) \({i^{4k + 1}} = i,\)\({i^{4k + 2}} = – 1,\)\({i^{4k + 3}} = – i\).
5. Giải bài 5 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính
a) \((2 + 3i)^2\)
b) \((2 + 3i)^3\)
Phương pháp giải
Sử dụng các hằng đẳng thức
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\
{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}
\end{array}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\begin{array}{l}
\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^2}\\
\,\,\, = {2^2} + 2.2.3i + {\left( {3i} \right)^2}\\\,\,\, = 4 + 12i + 9i^2\\\,\,\, = 4 + 12i – 9\\\,\,\, = – 5 + 12i\end{array}\)
Câu b
\(\begin{array}{l}\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^3}\\
\,\,\, = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3}\\ \,\,\, =8+36i+54i^2+27i^3 \\ \,\,\, =8+36i+54.(-1)+27.(-i)\\
\,\,\, = 8 + 36i – 54 – 27i\\
\,\,\, = – 46 + 9i
\end{array}\)