1. Giải bài 1 trang 171 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) \(y =\frac{\sqrt{x}}{a+b}\) (a, b là hằng số)
b) \(y = (x^2 + 4x + 1)(x^2 – \sqrt{x})\)
Phương pháp giải
Các bước tìm vi phân của hàm số f(x) như sau:
- Tính đạo hàm f'(x).
- Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có
\(y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}\Rightarrow y’=\frac{1}{a+b}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Vậy: \(dy=d\left ( \frac{\sqrt{x}}{a+b} \right )=\frac{1}{2(a+b).\sqrt{x}}dx\)
Câu b
\(y = (x^2 + 4x + 1)(x^2 – \sqrt{x})\)
\(\Rightarrow y’=(x^2+4x+1)'(x^2-\sqrt{x})+(x^2+4x+1).(x^2-\sqrt{x})’\)
\(=(2x+4)(x^2-\sqrt{x})+(x^2+4x+1)(2x-\frac{1}{2\sqrt{x}})\)
Vậy \(dy=y’dx=\left [ (2x+4)(x^2-\sqrt{x})+(x^2+4x+1)(2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}) \right ]dx\)
2. Giải bài 2 trang 171 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm dy, biết:
a) \(y = tan^2x\)
b) \(y =\frac{cosx}{1-x^{2}}\)
Phương pháp giải
Các bước tìm vi phân dy của hàm số y=f(x) như sau:
- Tính đạo hàm y’=f'(x).
- Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(dy=df(x) = f'(x)dx.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có \(y’=(tan^2x)’=2tanx.\frac{1}{cos^2x}\)
\(\Rightarrow y’=\frac{2sinx}{cos^{3}x}\)
Vậy \(dy=y’dx=\frac{2sinx.dx}{cos^3x}\)
Câu b
\(y=\frac{cosx}{1-x^{2}}\Rightarrow\)
\(y=\frac{cosx}{1-x^{2}}\Rightarrow\frac{(cosx)’.(1-x^{2})-cosx(1-x^{2})’}{(1-x^{2})^{2}}\)
\(=\frac{(x^{2}-1).sinx+2x.cosx}{(1-x^{2})^{2}}\)
Vậy \(dy=y’.dx=\frac{(x^{2}-1).sinx+2x.cosx}{(1-x^{2})^{2}}dx\)