1. Giải bài 1 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}. 2^n)\) , \((\frac{5}{2^{n}})\), \(((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân
Phương pháp giải
Chứng minh \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi.
Hướng dẫn giải
Xét \((u_n)\) với \(u_n=\frac{3}{5}.2^n\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{3}{5}.2^{n+1}}{\frac{3}{5}.2^n}=2\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=2.u_n\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=\frac{6}{5}\) và q = 2.
Xét \((u_n)\) với \(u_n=\frac{5}{2^n}\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{5}{2}.2^{n+1}}{\frac{5}{2^n}}= \frac{5.2^n}{5.2^{n+1}}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=\frac{5}{2}\) và \(q=\frac{1}{2}.\)
Xét \((u_n)\) với \(u_n=\left ( -\frac{1}{2} \right )^n\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{n}= \frac{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n+1}}{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n}}=-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=-\frac{1}{2}.(u_n)\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=-1\) và \(q=-\frac{1}{2}.\)
2. Giải bài 2 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số nhân với công bội q
a) Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q
b) Biết \(q =\frac{2}{3}\), \(u_4 =\frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)
c) Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Phương pháp giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}\).
Hướng dẫn giải
Câu a
Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_6=486 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_1.q^5=486 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ q^5=243 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ q=3 \end{matrix}\right.\) Vậy q = 3.
Câu b
Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_4=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_1.q^3=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_1.\frac{8}{27}=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ \\ u_1=\frac{27}{21} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(u_1=\frac{27}{21}=\frac{9}{7}.\)
Câu c
Theo đề bài ta có \(192=u_1.q^{n-1}\Rightarrow 192=3.(-2)^{n-1}\Rightarrow (-2)^{n-1}=64\)
\(\Leftrightarrow (-2)^{n-1}=(-2)^6\Rightarrow n=7.\) Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
3. Giải bài 3 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:
a) \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)
b) \(u_4 – u_2 = 25\) và \(u_3 – u_1 = 50\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}\).
Hướng dẫn giải
Câu a
Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} u_3=3\\ u_5=27 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1.q^2=3 (1)\\ u_1.q^4=27 (2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{1}{q^2}=\frac{1}{-9}\Rightarrow q=\pm 3\)
Khi \(q=-3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}\) (do (1))
Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3},-1,3,-9,27\)
Khi \(q=3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}\) (do (1))
Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3},1,3,9,27\)
Câu b
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} u_4-u_2=25\\ u_3-u_1=50 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q^3-q)=25 \ (1)\\ u_1(q^2-1)=50 \ (2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{q^3-q}{q^2-1}=\frac{1}{2}(q\neq \pm 1)\Leftrightarrow q=\frac{1}{2}.\)
Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\)
4. Giải bài 4 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62
Phương pháp giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\) và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSN: \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\).
Hướng dẫn giải
Gọi cấp số nhân tìm là (un) có số hạng đầu là (u1) và công bội là q.
Nhân hai vế của (1) với q, ta có:
\({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\)
Hay: \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\)
Suy ra: \(31q = 62 \Rightarrow q = 2\)
Vì
\(\begin{array}{l}{S_5} = 31 = \frac{{{u_1}(1 – {q^5})}}{{1 – q}} = \frac{{{u_1}(1 – {2^5})}}{{ – 1}}\\ \Rightarrow {u_1} = 1.\end{array}\)
Vậy sáu số hạng của cấp số nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
5. Giải bài 5 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Phương pháp giải
Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân, với \({u_1} = 1,8,\,\,q = 1 + 1,4\% = 1,014\).
Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n=u_1.q^{n-1}\)
Hướng dẫn giải
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là \(N\). Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là \(1,4\%.N\).
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
\(N + 1,4\%.N = 101,4\%.N \) \(=\dfrac{101,4}{100}.N\).
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.
Hiện tại: \(u_1=N\)
Sau 1 năm: \(u_2 = \dfrac{101,4}{100}.N\)
Sau 2 năm: \(u_3 = (\dfrac{101,4}{100})^{2}.N\); …
Vậy nếu \(N = 1,8\) triệu người
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:
Sau \(5\) năm số dân của tỉnh là \( u_6 = (\dfrac{101,4}{100})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người)
Sau \(10\) năm số dân của tỉnh là \( u_{11} = (\dfrac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người).
6. Giải bài 6 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Phương pháp giải
Tính \(a_{n+1}\) theo \(a_n\)
Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chứng minh \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) có giá trị không đổi với mọi n
Hướng dẫn giải
Hình vuông C1 có cạnh a1 = 4. Từ đó ta tính được hình vuông C2 có cạnh \(a_2=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), hình vuông C3 có cạnh \(a_3=\frac{5}{2}\), hình vuông C4 có cạnh là \(a_4=\frac{5\sqrt{10}}{8}\)
Từ đó ⇒ \((a_n)\) là cấp số nhân có a1 = 4 và công bội \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}.\)