1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.
1.2. Các tính chất
- Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\).
- Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và \(\displaystyle q = {{ – 1} \over 2}\)
a) Viết năm số hạng đầu của nó
b) So sánh \(u_2^2\) với tích u1.u3 và \(u_3^2\) với tích u2.u4
Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.
Hướng dẫn giải
a)
\(\eqalign{
& \cr
& {u_1} = – 2 \cr
& {u_2} = {u_1}.q = – 2.{{ – 1} \over 2} = 1 \cr
& {u_3} = {u_2}.q = 1.{{ – 1} \over 2} = {{ – 1} \over 2} \cr
& {u_4} = {u_3}.q = {{ – 1} \over 2}.{{ – 1} \over 2} = {1 \over 4} \cr
& {u_5} = {u_4}.q = {1 \over 4}.{{ – 1} \over 2} = {{ – 1} \over 8} \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {u_2}^2 = 1^2=1 \cr
& {u_1}.{u_3} = {u_1}.q = – 2.{{ – 1} \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow {u_2}^2 = {u_1}.{u_3} \cr
& {u_3}^2 = {\left( {{{ – 1} \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4} \cr
& {u_2}.{u_4} = 1.{1 \over 4} = {1 \over 4} \cr
& \Rightarrow {u_3}^2 = {u_2}.{u_4} \cr
& \text{Do đó }:\,{u_k}^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}};\,k \ge 2 \cr} \)
2.2. Bài tập 2
Tính tổng:
\(\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + … + {1 \over {{3^n}}}\)
Hướng dẫn giải
Cấp số nhân có: \({u_1}=1 \), \(\displaystyle q = {1 \over 3}\)
\( \displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}(1 – {q^n})} \over {1 – q}} = {{1.\left[ {1 – {{({1 \over 3})}^n}} \right]} \over {1 – {1 \over 3}}} \) \(\displaystyle = {3 \over 2}\left[ {1 – {{({1 \over 3})}^n}} \right]\)
2.3. Bài tập 3
Chứng minh các dãy số \(( \dfrac{3}{5} . 2^n)\), \( (\dfrac{5}{2^{n}})\), \( ((-\dfrac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{3}{5}{.2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{.2^1} = \dfrac{6}{5}\)
Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{.2^{n + 1}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{.2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{.2}^n}}} \) \(= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}.2}}{{{2^n}}} = 2\) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{6}{5}\) và \(q = 2\).
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}.2}} = \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{5}{2}\) và \(q= \dfrac{1}{2}\)
+) Ta có: \({u_n} = {\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)^n}\)\( \Rightarrow {u_1} = {\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)^1} = – \dfrac{1}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}\)
\( = \dfrac{{{{\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}= – \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{-1}{2}\) và \(q= \dfrac{-1}{2}\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { – 3} \right)^{2n – 1}}.\)
Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số
Câu 2: Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)có
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102.\end{array} \right.\)
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng \(3069\) ?
c) Số \(12288\) là số hạng thứ mấy ?
Câu 3: Tìm số các số hạng của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\)biết
a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\)
b) \({u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8}\)
Câu 4: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho \(2,6,7,2\) ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \(u_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)
B. \(u_{n}=2n\)
C. \(u_{n}=2^{n}\)
D. \(u_{n}=n^{3}+3n\)
Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=2u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)
B. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n}+u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)
C. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}^{3}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)
D. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}+1\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)
Câu 3: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân \((u_{n})\) thỏa mãn hệ \(\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}\right.\) là:
A. 2
B. 12
C. 24
D. 0
Câu 4: Công bội nguyên dương của cấp số nhân \((u_{n})\) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}\right.\) là:
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Câu 5: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
A. 720
B. 81
C. 64
D. 56
4. Kết luận
Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:
- Nắm vững khái niệm cấp số nhân.
- Nắm được 1 tính chất đơn giản về 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân.
- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát của 1 cấp số nhân.