Giải SBT Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 1

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Đổi số đo góc α = 105° sang rađian ta được

A. α=5π8.

B. α=π8.

C. α=7π12.

D. α=9π12.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có α = 105° = 105.π180=7π12 rad.

Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà uOv^ là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để π2+k2π<α<3π2+k2π.

B. π<α<π2.

C. π2<α3π2.

D. π2<α<π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov nên ta loại trừ đáp án B, C, D (do chưa thể xác định được khoảng cụ thể của góc α.

Mà uOv^ là góc tù nên π2<uOv^<3π2.

Vậy tồn tại số nguyên k để π2+k2π<α<3π2+k2π.

Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị cot89π6 bằng

A. 33.

B. 3.

C. 3.

D. 33.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cot89π6=cot5π6+14π=cot5π6=3.

Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Cho π2<α<π. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin α < 0; cos α > 0.

B. sin α > 0; cos α > 0.

C. sin α < 0; cos α < 0.

D. sin α > 0; cos α < 0. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì π2<α<π nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó sin α > 0, cos α < 0.

Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sinπ2x=cosx.

B. sinπ2+x=cosx.

C. tanπ2x=cotx.

D. tanπ2+x=cotx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

sinπ2x=cosxtanπ2x=cotx nên đáp án A và C đúng.

Ta có Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai trang 25 SBT Toán 11 nên đáp án B đúng.

Lại có Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai trang 25 SBT Toán 11 nên đáp án D sai.

Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180° – a) = – cos a.

B. sin(180° – a) = – sin a.

C. sin(180° – a) = sin a.

D. sin(180° – a) = cos a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, ta có: sin(180° – a) = sin a.

Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Biết sin x = 12. Giá trị của cos2 x bằng

A. cos2x=12.

B. cos2x=32.

C. cos2x=14.

D. cos2x=34.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có sin2 x + cos2 x = 1, suy ra cos2 x = 1 – sin2 x = 1122=34.

Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Biết cot x = 12. Giá trị của biểu thức 4sinx+5cosx2sinx3cosx bằng

A. 117.

B. 59.

C. 13.

D. 29.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì cot x = 12 nên sin x ≠ 0, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức 4sinx+5cosx2sinx3cosx cho sin x, ta được:

 4sinx+5cosx2sinx3cosx=4sinxsinx+5cosxsinx2sinxsinx3cosxsinx=4+5cotx23cotx=4+5.1223.12=13.

Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. cosu+cosv=2cosu+v2cosuv2.

B. cosucosv=2sinu+v2sinuv2.

C. sinu+sinv=2sinu+v2cosuv2.

D. sinusinv=2cosu+v2sinuv2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosu+cosv=2cosu+v2cosuv2.

cosucosv=2sinu+v2sinuv2.

sinu+sinv=2sinu+v2cosuv2.

sinusinv=2cosu+v2sinuv2.

Vậy đáp án B sai.

Bài 1.40 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 2a = 2sin a cos a.

B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.

C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.

D. tan 2a = 2tana1+tan2a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sin a cos a.

cos 2a = cos2 a – sin2 a = 1 – 2sin2 a.

tan 2a = 2tana1tan2a.

Vậy đáp án D sai.

Bài 1.41 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số y=1cosx là

 Tập xác định của hàm số  Y trang 26 SBT Toán 11

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Biểu thức 1cosx xác định khi 1 – cos x ≥ 0.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số y=1cosx là D = ℝ.

Bài 1.42 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).

B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (– π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), k ∈ ℤ.

Do đó, hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Bài 1.43 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tập xác định của hàm số y = tan x là Khẳng định nào sau đây sai trang 27 SBT Toán 11

B. Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng π2+kπ;  π2+kπ với mọi k ∈ ℤ.

C. Tập giá trị của hàm số y = tan x là π2;π2.

D. Hàm số y = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết, ta có các đáp án A, B, D đúng.

Lại có tập giá trị của hàm số y = tan x là ℝ nên đáp án C sai.

Bài 1.44 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = cos x.

B. y = sin3 x .

C. y = sin x.

D. y = tan x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bài 1.45 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.

D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π nên đáp án C sai.

Bài 1.46 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn.

B. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = x sin x là hàm số tuần hoàn.

D. Hàm số y = x sin x là hàm số chẵn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+) Hàm số y = sin x cos 2x có tập xác định D = ℝ.

– Ta có ∀ x ∈ D thì x + 2π ∈ D và x – 2π ∈ D, hơn nữa

f(x + 2π) = sin(x + 2π) cos(2x + 2π) = sin x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn nên đáp án A đúng.

– Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = sin(– x) . cos(– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x).

Do đó hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ nên đáp án B đúng.

+) Hàm số y = x sin x có tập xác định D = ℝ.

Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = (– x) . sin(– x) = x sin x = f(x).

Do đó hàm số y = x sin x là hàm số chẵn nên đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Bài 1.47 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. cos x = – 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).

B. sin x = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

C. tan x = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

D. cos x = 0 ⇔ x = π2 + k2π (k ∈ ℤ).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) cos x = – 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ) nên đáp án A đúng.

+) sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án B sai, từ đó suy ra đáp án C sai.

+) cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án D sai.

Bài 1.48 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình 2cosx=3 trên đoạn Số nghiệm của phương trình 2cosx = căn bậc hai 3 trên đoạn  [0;5π/2] là là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có 2cosx=3cosx=32cosx=cosπ6x=±π6+k2π   k.

Vì Số nghiệm của phương trình 2cosx = căn bậc hai 3 trên đoạn  [0;5π/2] là nên:

+ Với x=π6+k2π   k thì 0π6+k2π5π2112k76 , mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k ∈ {0; 1}.

+ Với x=π6+k2π   k thì 0π6+k2π5π2112k43, mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k = 1.

Vậy phương trình 2cosx=3 có 3 nghiệm trên đoạn Số nghiệm của phương trình 2cosx = căn bậc hai 3 trên đoạn  [0;5π/2] là.

Bài 1.49 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cos x – 1 = 0 bằng

A. S = 2π.

B. S = 0.

C. S = 4π.

D. S = 3π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 3cos x – 1 = 0 cosx=13cosxcos0,392π

 Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cos x – 1 = 0 bằng

Mà x ∈ (0; 2π) nên x ≈ 0,392π hoặc x ≈ – 0,392π + 2π.

 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là S = 0,392π + (– 0,392π + 2π) = 2π.

Bài 1.50 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

 Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi sin 3x = sin x

 Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

B. TỰ LUẬN

Bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) 23π4;                          b) 31π6;                          c) – 1 380°.

Lời giải:

a) Ta có 23π4=6ππ4. Góc 23π4 được biểu diễn bởi điểm M22;22 trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

 Trên đường tròn lượng giác xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

Vậy sin23π4=22;  cos23π4=22 và tan23π4=cot23π4=1.

b) Ta có 31π6=7π6+4π. Góс 31π6 được biểu diễn bởi điểm M32;12> trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

 Trên đường tròn lượng giác xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

Vậy sin31π6=12;  cos31π6=32tan31π6=13 và cot31π6=3

c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm M12;  32 trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

 Trên đường tròn lượng giác xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

Vậy sin(– 1 380°) = 32; cos(– 1 380°) = 12; tan(– 1 380°) = 3 và cot(– 1 380°) = 13.

Bài 1.52 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Lời giải:

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng 14 độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

142πR=142π1,75=7π82,75  m.

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng 14112=148 đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

1482πR=1482π1,26=21π4000,16  m.

Bài 1.53 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.

Lời giải:

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng 23° – 9° = 14°.

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng 637814π1801558   km.

Bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos α = 34, sin α > 0; sin β = 35β9π2;  5π. Hãy tính cos 2α, sin 2α, cos 2β, sin 2β, cos (α + β), sin (α – β).

Lời giải:

Ta có cos 2α = 2 cos2 α – 1 = 2.3421=18.

Ta có sin2 α = 1 – cos2 a = 1342716.  

Lại do sin α > 0 nên sin α = 74.

Suy ra sin 2α = 2 sin α cos α = 2.74.34=378.

Ta có cos 2β = 1 – 2 sin2 β = 12.352 = 725.

Ta có cos2 β = 1 – sin2 β = 13521625.

Lại do β9π2;  5π nên cos β < 0, do đó cosβ=45.

Suy ra sin 2β = 2 sin β cos β = 2.35.45=2425.

Ta có 

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β = 34.4574.35=123720.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β = 74.4534.35=94720.

Bài 1.55 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) sin45°+αcos45°+αsin45°+α+cos45°+α;

b) sin2α+sinα1+cos2α+cosα;

c) 1+cosαsinα1cosαsinα;

d) sinα+sin3α+sin5αcosα+cos3α+cos5α.

Lời giải:

a) sin45°+αcos45°+αsin45°+α+cos45°+α

=sin45°cosα+cos45°sinαcos45°cosαsin45°sinαsin45°cosα+cos45°sinα+cos45°cosαsin45°sinα

=22cosα+22sinα22cosα22sinα22cosα+22sinα+22cosα22sinα

=2sinα2cosα=tanα.

b) sin2α+sinα1+cos2α+cosα

=2sinαcosα+sinα1+2cos2α1+cosα

=2sinαcosα+12cosαcosα+1

=sinαcosα=tanα.

c) 1+cosαsinα1cosαsinα

=1+2cos2α212sinα2cosα2112sin2α22sinα2cosα2

=2cos2α22sinα2cosα22sin2α22sinα2cosα2

=2cosα2cosα2sinα22sinα2sinα2cosα2

 Rút gọn các biểu thức sau trang 28 SBT Toán 11

=cosα2sinα2=cotα2.

d) sinα+sin3α+sin5αcosα+cos3α+cos5α

=sin5α+sinα+sin3αcos5α+cosα+cos3α

=2sin5α+α2cos5αα2+sin3α2cos5α+α2cos5αα2+cos3α

=2sin3αcos2α+sin3α2cos3αcos2α+cos3α

=sin3α2cos2α+1cos3α2cos2α+1

=sin3αcos3α=tan3α.

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) A=sinπ4+xcosπ4x;

b) B=cosπ6xsinπ3+x;

c) C=sin2x+cosπ3xcosπ3+x;

d) D=1cos2x+sin2x1+cos2x+sin2x.cotx.

Lời giải:

a) Cách 1:

A=sinπ4+xcosπ4x

=sinπ4cosx+cosπ4sinxcosπ4cosx+sinπ4sinx

=22cosx+22sinx22cosx+22sinx=0   x.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

A=sinπ4+xcosπ4x

 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

=sinπ4+xsinπ4+x=0   x.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) B=cosπ6xsinπ3+x

 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

=cosπ6xcosπ6x=0  x.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) C=sin2x+cosπ3xcosπ3+x

 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

=sin2x+12cos2π3+cos2x

=sin2x+1212+cos2x

 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

=sin2x+12122sin2x

=sin2x+14sin2x=14   x.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) D=1cos2x+sin2x1+cos2x+sin2x.cotx

=112sin2x+2sinxcosx1+2cos2x1+2sinxcosx.cotx

=2sin2x+2sinxcosx2cos2x+2sinxcosx.cotx

=2sinxsinx+cosx2cosxcosx+sinx.cotx

=sinxcosx.cotx=tanx.cotx=1   x.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 1.57 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f1(t) = C sin ωt và f2(t) = C sin(ωt + α).

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

f(t) =  f1(t) + f2(t) = C sin ωt + C sin(ωt + α).

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm f(t) có thể viết được dưới dạng f(t) = A sin ωt + B cos ωt, ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào α.

b) Khi C = 10 và α=π3, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số k và φ sao cho f(t) = k sin(ωt + φ).

Lời giải:

a) Ta có f(t) = f1(t) + f­­2(t)

= C sin ωt + C sin(ωt + α)

= C sin ωt + C(sin ωt cos α + cos ωt sin α)

= C sin ωt + C sin ωt cos α + C cos ωt sin α

= C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt.

Vậy f(t) = C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt với A = C(1 + cos α) và B = C sin α.

b) Khi C = 10 và α=π3 ta có

ft=10sinωt+10sinωt+π3

 Hai sóng âm có phương trình lần lượt là f1(t) = C sinωt và f2(t) = C sin(ωt + α)

=10.2sinωt+ωt+π32cosωtωtπ32

=20sinωt+π6cosπ6

=103sinωt+π6.

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là k=103 và φ=π6.

Bài 1.58 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=cos2xx1;

b) y=1cosxcos3x;

c) y=1cosx+sin2x;

d) y = tan x + cot x.

Lời giải:

a) Biểu thức cos2xx1 có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là  Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11.

b) Biểu thức 1cosxcos3x có nghĩa khi cos x – cos 3x ≠ 0 hay cos x ≠ cos 3x

⇔ 3x ≠ ± x + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x ≠ kπ2(k ∈ ℤ). .

Vậy tập xác định của hàm số là  Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11.

c) Biểu thức 1cosx+sin2x có nghĩa khi cos x + sin 2x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ – sin 2x

⇔ cos x ≠ sin (– 2x) cosxcosπ22x cosxcosπ2+2x

 Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11

Vậy tập xác định của hàm số là  Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11.

d) Biểu thức tan x + cot x có nghĩa khi

 Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11

Vậy tập xác định của hàm số là  Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11.

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sinπ3x;

c) y = sin4 x + cos4 x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Lời giải:

a) Ta có y = sin x – cos x = 2sinxπ4.

Vì 1sinxπ41 nên 22sinxπ42, với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi sinxπ4=1

xπ4=π2+k2π  k x=3π4+k2π  k>.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi sinxπ4=1

xπ4=π2+k2π  k x=π4+k2π  k.

b) Ta có y = sin x + sinπ3x =2sinx+π3x2cosxπ3+x2

=2sinπ6cosxπ6=2.12cosxπ6=cosxπ6.

Ta có 1cosxπ61  x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cosxπ6=1xπ6=k2π  kx=π6+k2π  k và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi cosxπ6=1xπ6=π+k2π  kx=7π6+k2π  k.

c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x

= 1 – 2 (sin x cos x)2 = 12.sin2x22112sin22x 

112.1cos4x2 = 114+14cos4x = 34+14cos4x.

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên 1414cos4x14, do đó 341434+14cos4x34+14

hay 1234+14cos4x1   x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

x=kπ2  k.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 12, đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

x=π4+kπ2  k.

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos2 x + 2cos x – 2

= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 52, đạt được khi cosx=12x=±2π3+k2π  k.

Bài 1.60 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin3 x – cot x;

b) y=cosx+tan2xcosx;

c) y = sin 2x + cos x;

d) y=2cos3π4+xsinπ4x.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số y = sin3 x – cot x là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Nếu kí hiệu f(x) = sin3 x + cot x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin3 (–x) – cot(– x) = – sin3 x + cot x = –  (sin3 x – cot x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y=cosx+tan2xcosx là  Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11

Nếu kí hiệu fx=cosx+tan2xcosx thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

fx=cosx+tan2xcosx=cosx+tanx2cosx=cosx+tan2xcosx=fx

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin 2x + cos x là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = sin 2x + cos x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y=2cos3π4+xsinπ4x là D = ℝ.

Ta có y=2cos3π4+xsinπ4x

 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11

=sinπ+sinπ22x=0sinπ2+2x

 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau trang 29 SBT Toán 11

Nếu kí hiệu fx=2cos3π4+xsinπ4x=cos2x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và f(– x) = – cos (– 2x) = – cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = sinx2 + cos 3x;

b) y = cos 5x + tanx3.

Lời giải:

a) Hàm số y = sinx2 tuần hoàn với chu kì T1 = 2π12=4π, hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T2 = 2π3. Ta có 4π=62π3.

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sinx2 + cos 3x tuần hoàn như sau:

fx+4π=sinx+4π2+cos3x+4π

          =sinx2+2π+cos3x+12π

          =sinx2+cos3x=fx   x.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T1 = 2π5, hàm số y = tanx3 hoàn với chu kì T2=π13=3π.

Ta có 6π=2×3π=15×2π5.

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tanx3 tuần hoàn như sau

fx+6π=cos5x+6π+tanx+6π3

          =cos5x+30π+tanx3+2π=cos5x+tanx3=fx  x.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.

Bài 1.62 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin3x=32;

b) tanx3+10°=13;

c) sin 3x – cos 5x = 0;

d) tan 3x tan x = 1.

Lời giải:

a) Ta có sin3x=32

sin3x=sinπ3

 Giải các phương trình sau trang 29 SBT Toán 11

b) Ta có tanx3+10°=13

tanx3+10°=tan30°

⇔ x3 + 10° = – 30° + k180°  (k ∈ ℤ)

⇔ x = – 120° + k540° (k ∈ ℤ).

c) Ta có sin 3x – cos 5x = 0

⇔ sin 3x = cos 5x

sin3x=sinπ25x

 Giải các phương trình sau trang 29 SBT Toán 11

d) Điều kiện cos 3x ≠ 0 và cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 .

Ta có tan 3x tan x = 1

tan3x=1tanx

⇔ tan 3x = cot x

tan3x=tanπ2x

3x=π2x+kπ  k

x=π8+kπ4  k.

Ta thấy x=π8+kπ4  k thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là x=π8+kπ4  k.

Bài 1.63 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2 cos2 x + cos 2x = 2;

d) sin4 x + cos4 x = 12sin2 2x.

Lời giải:

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

2sin5x+π4=1

sin5x+π4=12

sin5x+π4=sinπ4

 Giải các phương trình sau trang 30 SBT Toán 11

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

2sin3x+5x2sin3x5x2=sinx

2sin4xsinx=sinx

2sin4xsinxsinx=0

sinx2sin4x1=0

 Giải các phương trình sau trang 30 SBT Toán 11

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).

+ Với sin4x=12sin4x=sinπ6

 Giải các phương trình sau trang 30 SBT Toán 11

c) Ta có 2 cos2 x + cos 2x = 2

⇔ (2 cos2 x – 1) + cos 2x = 1

⇔ cos 2x + cos 2x = 1

⇔ 2cos 2x = 1

⇔ cos 2x = 12

⇔ cos 2x = cosπ3

⇔ 2x = ±π3+k2π  k

x=±π6+kπ  k.

d) Ta có sin4 x + cos4 x = 12sin2 2x

sin2x+cos2x22sin2xcos2x=12sin22x

1122sinxcosx2=12sin22x

112sin22x=12sin22x

sin22x=1

cos2x=0  (do sin2 2x + cos2 2x = 1)

2x=π2+kπ  k

x=π4+kπ2  k.

Bài 1.64 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),

ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.

 Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm

b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Lời giải:

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ và BC = 30sin θ.

 Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm

Vậy diện tích mặt cắt là S = AB ∙ BC = 30cos θ ∙ 30sin θ = 450sin 2θ.

b) Vì – 1 ≤ sin 2θ ≤ 1 nên ta có S = 450sin 2θ ≤ 450.

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi sin 2θ = 1 hay góc θ = 45°.

Bài 1.65 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

Pt=100+20sin7π3t

ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg

Lời giải:

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

Pt=100100+20sin7π3t=100

sin7π3t=07π3t=kπ  kt=3k7  k.

Xét 0 < t < 1 0<3k7<10<k<73. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

Pt=120100+20sin7π3t=120

sin7π3t=17π3t=π2+k2π  kt=314+6k7  k.

Xét 0 < t < 1 0<314+6k7<114<k<1112. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

Pt=100100+20sin7π3t=100

sin7π3t=07π3t=kπ  kt=3k7  k.

Xét 0 < t < 1 0<3k7<10<k<73. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

Pt=120100+20sin7π3t=120

sin7π3t=17π3t=π2+k2π  kt=314+6k7  k.

Xét 0 < t < 1 0<314+6k7<114<k<1112. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.



hoc tap vn

The word “fathom” in paragraph 4 most probably means _________.

Giáo án Toán lớp 1 Ôn tập cuối năm 3 | Chân trời sáng tạo

Mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the word(s) OPPOSITE in meaning to the underlined word(s) in each of the following questions.I think it’s impossible to abolish school examinations. They are necessary to evaluate students’ progress.

Đề thi thử TN THPT TOÁN 2024 (38) – THPT TRIỆU SƠN 4 FILE docx – Sách Toán

Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Khoa học tự nhiên 7 Cánh diều có đáp án năm 2023

Ôn tập chủ đề 6: Bảo vệ môi trường trong chăn nuôi

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *